专题函数的对称性与周期性

一.函数图象的对称性

1.关于一个函数图象的对称轴与对称中心

（1）.函数满足函数的图象关于对称。

（2）.

                             的图象的对称轴

为偶函数的图象的对称轴

（3）二次函数的对称轴由公式法（或求导数）

（4）.函数满足函数的图象关于点对称。

（5）.

                            的图象的对称中心

为奇函数的图象的对称中心。

（6*）简单分式函数 ()，由变量分离法得对称中心。

（7*）三次函数的对称中心为。

(其中是的根；是的导数，是的导数。)

2.关于两个函数图象的对称轴与对称中心

（1）.函数的图象与函数的图象关于轴对称。

（2）.函数的图象与函数的图象关于轴对称。

（3）.函数的图象与函数的图象关于直线对称。

（4）函数与的图象关于直线对称

（5*）.函数的图象与函数的图象关于直线轴对称。

（6*）.函数的图象与函数的图象关于直线轴对称。

（7*）.函数的图象与函数的图象关于直线轴对称。

（8*）.函数的图象与函数的图象关于直线轴对称.

（9）.函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称。

（10）.函数的图象与函数的图象关于点轴对称。

（11）.函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称。

（12）.函数与的图象关于点对称。

说明：5*.如则；如则

      6* .如则；如则

       (由于全国丙卷地区，不讲反函数，根据课本结论必修一作此说明）

二.函数的周期性

1.周期函数的定义和简单性质

（1）对于函数，若存在一个常数,使得当取遍其定义域内的一切直时，都有,则叫做以T为周期的周期函数。

（2）周期函数的定义域是无界的。

（3）若()是函数的周期，则都是的周期；

（4）周期函数的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正值，则叫做函数的最小正周期。（不是所有周期函数都有最小正周期，例：）

2.三角函数的周期性

（1）的最小正周期

的最小正周期

（2）的最小正周期

的最小正周期

（3）的最小正周期

的最小正周期

（4）的最小正周期。

的最小正周期。

（5）的最小正周期。

的最小正周期。

（6）的最小正周期。

的最小正周期。

（7）是周期函数

= 1 \* GB3①时，最小正周期

= 2 \* GB3②时，最小正周期

= 3 \* GB3③时，最小正周期

（8）是周期函数

= 1 \* GB3①时，最小正周期

= 2 \* GB3②时，最小正周期

= 3 \* GB3③时，最小正周期

（7）是周期函数

= 1 \* GB3①时，最小正周期

= 2 \* GB3②时，最小正周期

= 3 \* GB3③时，最小正周期

（9）是周期函数

= 1 \* GB3①时，最小正周期

= 2 \* GB3②时，最小正周期

= 3 \* GB3③时，最小正周期

（10）是周期函数，

最小正周期

（11）是周期函数，最小正周期

是周期函数，

最小正周期

（12）*是周期函数，

最小正周期

（13）*是周期函数，最小正周期

（14）*是周期函数，

最小正周期

是周期函数，

= 1 \* GB3①时，最小正周期

= 2 \* GB3②时，最小正周期

= 3 \* GB3③时，最小正周期

（15）*（），为不超过的最大整数，的最小正周期。

2.周期函数的常用结论（以下总假定函数的定义域是无界的）

（1）若函数恒满足，则是周期函数，

周期。

（2）若函数恒满足（），则是周期函数，

周期.

（3）若函数恒满足，则是周期函数，

周期。

（4）若函数恒满足（），则是周期函数，

周期。

（5）若函数恒满足（），则是周期函数，

周期。

（6）若函数恒满足（），则是周期函数，

周期。

（7）若函数的函数图象有两条相邻的对称轴，

则是周期函数，周期是。

（8）若函数的函数图象有两个相邻的对称中心，

则是周期函数，周期是。

（9）若函数的函数图象有对称中心和一条相邻的对称轴

，则是周期函数，周期是。

（10）若函数是偶函数，还有与坐标原点相邻的对称轴，则是周期函数，周期是。

（11）若函数是偶函数，与轴相邻的对称中心，

则是周期函数，周期是。

（12）若函数是奇函数，与坐标原点相邻的对称轴是，

则是周期函数，周期是。

（13）若函数是奇函数，与坐标原点相邻的对称中心，

则是周期函数，周期是。

（14*）若函数恒满足（），则是周期函数，周期。

（15*）若函数恒满足（），

则是周期函数，周期。